练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    如图，已知抛物线（b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

    （1）点B的坐标为      ，点C的坐标为      （用含b的代数式表示）；

    （2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

    （3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

     

    【答案】

    （1）B（b，0），C（0，）；

    （2）当∠CAP=90°时，P（10，4.5）；当∠ACP=90°时，P（11，7.5）

    （3）（1，4），

    【解析】

    试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；

    （2）先求出b=8时点B、点C的坐标，再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可；

    （3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．

    （1）在中，当y=0时，x=1或b，

    ∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，

    ∴点B的坐标为（b，0），

    当x=0时，y=

    ∴点C的坐标为（0，）；

    当b=8时点B、点C的坐标分别为B（8，0），C（0，2），二次函数关系式为

    设直线AC的解析式为

    ∵图象过点A（1，0），C（0，2）

    ∴，解得

    ∴直线AC的解析式为

    当∠CAP=90°时，设直线AP的解析式为

    ∵图象过点A（1，0）

    ∴，

    ∴直线AP的解析式为

    联立与解得，即此时点P坐标为（10，4.5）；

    当∠ACP=90°时，设直线AP的解析式为

    ∵图象过点C（0，2）

    ∴直线AP的解析式为

    联立与解得，即此时点P坐标为（11，7.5）；

    （3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

    ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

    ∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

    ∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．

    ∵b＞2，

    ∴AB＞OA，

    ∴∠Q0A＞∠ABQ．

    ∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，

    由QA⊥x轴知QA∥y轴．

    ∴∠COQ=∠OQA．

    ∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

    （I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．

    ∴AQ=CO=．

    由AQ2=OA?AB得：（）2=b-1．

    解得：b=8±4．

    ∵b＞2，

    ∴b=8+4．

    ∴点Q的坐标是（1，2+）．

    （II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，

    ∴，即OQ2=OC?AQ．

    又OQ2=OA?OB，

    ∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b．

    解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，

    ∴点Q的坐标是（1，4）．

    ∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

    考点：二次函数的综合题

    点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案