Question

在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（-2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．

Answer 1

解：（1）作EF⊥AB，
∴=，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，
∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），
∴点D的坐标为（0，6），
∴OD=6，FB=4，OF=2，
∴=，
∴EF=4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，
点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，-6），
CD′与x轴的交点为M，
∴此时，MC+MD=CD′为最小值，
∴CD′==4；

（3）设点P（0，y），y＞0，
分三种情况，①PC=BC；
∴4²+（6-y）²=2²+6²，
解得，y=6±；
②PB=BC；
∴6²+y²=2²+6²，
解得，y=2，y=-2（舍去）；
③PB=PC；
∴6²+y²=4²+（6-y）²，
解得，y=；
综上，点P的坐标为：（0，6+），（0，6-），（0，2），（0，）．
分析：（1）作EF⊥AB，根据已知，可得出OD=6，FB=4，OF=2，然后，根据相似，即可求出EF的长，即可得出点E的坐标；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，则D′的坐标为（0，-6），根据两点间的距离公式，算出即可；
（3）设点P（0，y），y＞0，分三种情况，①PC=BC；②PB=BC；③PB=PC；解答出即可；
点评：本题主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路线问题及坐标与图形的关系，锻炼了学生对于知识的综合运用能力和良好的空间想象能力．