Question

叙述并证明圆周角定理．

Answer 1

答案：略
解析：

叙述：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠BOC是圆O的圆心角． 求证：． 证明：分三种情况讨论． (1)下图中，圆心O在∠BAC的一边上． ． (2)下图中，圆心O在∠BAC的内部，作直径AD． 利用(1)的结果，有 ， (3)下图中，圆心O在∠BAC的外部，作直径AD． 利用(1)的结果，有 ．

提示：

圆周角和圆心角有如下三种位置关系：如图(1)、(2)、(3)所示．图中显示圆周角与圆心角的三种位置关系．在(1)中，圆心在∠BAC的一边上；在(2)中，圆心在∠BAC内；在(3)中，圆心在∠BAC外．对于这三神情况，能否找到一种统一的证明方法？ 要找到一种统一的证明方法是困难的．我们来分析各种情况及它们之间的关系．图(1)是一种比较特殊的情况，∠BOC是△AOC的外角，因为OA=OC，所以∠BOC=∠A＋∠OCA=2∠A，从而．这里证明比较容易，关键在于圆心在圆周角的一条边上． 图(2)的圆心在圆周角内，这是它与图(1)的不同点．我们能否让圆心在某个圆周角上，把图(2)转化成图(1)呢？观察可知，过A作圆O的直径AD就能达到转化的目的，应用图(1)的结论，我们得到 ． 应用类似方法于图(3)． 作圆O的直径AD，则 ．