Question

【题目】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE．

（I）求证：△ABE∽△ECD；

（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝．

【解析】

（Ⅰ）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠A，利用两角相等证明三角形相似；

（Ⅱ）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论．

（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，

∵AE⊥DE，

∴∠AED＝90°，

∴∠AEB+∠DEC＝90°，

∴∠DEC＝∠BAE，

∴△ABE∽△ECD；

（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，

∴BE＝3，

∵BC＝5，

∴EC＝5﹣3＝2，

由（1）得：△ABE∽△ECD，

∴，

∴，

∴DE＝．