Question

如图，在公园中，相距40米的两个观景台A、B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O上，半径为10米．现要修建一条连接A、B的观景长廊，计划沿AC、、DB的路线修建，其中AC、DB分别与圆O相切于点C、D．
（1）求AC的长；（结果取精确值）
（2）求这个观景长廊的全长．
（取1.732，π取3.14，结果精确到0.1米）

Answer 1

解：连接OC、OD．
（1）∵AC是⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵AO=AB=20，OC=10，
∴在Rt△ACO中，根据勾股定理，得
AC=10；

（2）在Rt△ACO中，∵AO=20，OC=10，
∴∠AOC=60°；
同理，可得BD=10，∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
∴=，
∴路线全长为AC++BD=20+≈45.1m．
分析：（1）连接OC、OD．利用切线的性质推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中根据勾股定理求得AC=10；
（2）观景长廊的全长=AC++BD．根据（1）的解答原理和结果知AC=BD=10，然后利用直角三角形中的边角关系及平角的定义求得∠DOC=60°，最后由弧长的计算公式求得的长度．
点评：本题考查了勾股定理、弧长的计算以及切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．