Question

13．在直角坐标系xOy中，在第一象限AB方向和x轴上各有一平面镜，一束光线CD经过两次反射后的反射光线是EF，且∠DCE＞∠DEC．
（1）（如图1）若∠ABE=30°，求入射光线CD和反射光线EF所在直线夹角∠Q的度数
（2）（如图2）若平面镜AB绕点D旋转时，设法线DH⊥AB交y轴于H，问$\frac{∠DCE-∠DEC}{∠OHD}$的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意设∠ADE=∠BDC=∠β，∠DEB=∠QEB=∠α，根据三角形外角的性质得出∠β=30°+∠α，然后根据三角形内角和定理即可求得；
（2）延长AB交x轴于M，由于∠DCE=∠CDM+∠CMD，∠ADE=∠CDM=∠DEC+∠DMC，于是得到∠DCE=∠DEC+2∠DMC，推出∠DCE-∠DEC=2∠DMC，证得∠OHD=∠DMC，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ADE=∠BDC，
设∠ADE=∠BDC=∠β，
∴∠QDE=180°-2∠β，
由于入射角等于反射角，∠PEB与反射角是对顶角，所以∠QEB=∠DEB，
∵∠ADE=∠B+∠DEB，
设∠DEB=∠QEB=∠α，
∴∠β=∠B+∠α=35°+∠α，∠QED=2∠α，
∴∠Q=180°-∠QDE-∠QED=180°-180°+2∠β-2∠α=2∠β-2∠α=2（∠β-∠α）=2（30°+∠α-∠α）=60°；

（2）$\frac{∠DCE-∠DEC}{∠OHD}$的值不会改变，
理由：延长AB交x轴于M，
∵∠DCE=∠CDM+∠CMD，∠ADE=∠CDM=∠DEC+∠DMC，
∴∠DCE=∠DEC+2∠DMC，
∴∠DCE-∠DEC=2∠DMC，
∴∠OHD=∠DMC，
∴$\frac{∠DCE-∠DEC}{∠OHD}$=2．

点评 本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，垂线的定义，熟记三角形的内角和是解题的关键．