Question

Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A，B的一点，且∠ACP=30°，求PB的长．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形

专题：几何图形问题,分类讨论,转化思想

分析：两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况：（i）P在A的右边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角，由∠ABC=30°及BC的长，利用锐角三角形函数定义及cos30°的值，即可求出PB的长；当P在A的左边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠ACB-∠ACP求出∠PCB为30°，得到∠PCB=∠ABC，利用等角对等边得到PC=PB，由BC及∠ABC=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，由AB-BP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于PB的方程，求出方程的解得到PB的长，综上，得到所有满足题意的PB的长．

解答：解：分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图1所示：
∵∠CAB=90°，
∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°，
∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°，
∴△PCB为等边三角形，又BC=4，
∴PB=4；
当∠ABC=30°时，如图2所示：
（i）当P在A的左边时，
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠PCB=90°，
又∵∠B=30°，BC=4，
∴cosB=

BC

PB

，即cos30°=

4

PB

，
解得：PB=

4

3 2

=

8 3

3

；
（ii）当P在A的右边时：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠BCP=30°，又∠B=30°，
∴∠BCP=∠B，
∴CP=BP，
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，
∴AC=

1

2

BC=2，
根据勾股定理得：AB=

BC2-AC2

=2

3

，
∴AP=AB-PB=2

3

-PB，
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²，
∴2²+（2-BP）²=BP²，
解得：BP=

4 3

3

，
综上所述，BP的长分别为4或

4 3

3

或

8 3

3

．

点评：本题考查的是勾股定理，含30°直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．