Question

8．如图，若A（0，a），B（b，0），C（c，c），且（a-5）²+|b+2|+$\sqrt{c-3}$=0．四边形ABCD为平行四边形，点D在第一象限，直线AC交x轴于点F．
（1）求点D的作坐标；
（2）求证：∠DCF=∠ABF+∠AFB；
（3）求$\frac{CF}{AC}$的比值．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B、C的坐标，过D作DN⊥y轴，过C作CM⊥x轴，垂足分别为N、M，可证明△BCM≌△DAN，可知DN=BC、AN=CM，容易求得D点坐标；
（2）由平行四边形的性质，结合三角形外角的性质可证得结论；
（3）由A、C坐标可先求得直线AC的解析式，可求得F点的坐标，过C作CH⊥x轴于点H，利用平行线分线段成比例可求得$\frac{CF}{AC}$的比值．

解答 （1）解：
∵（a-5）²+|b+2|+$\sqrt{c-3}$=0，
∴a=5，b=-2，c=3，
∴A（0，5），B（-2，0），C（3，3），
过D作DN⊥y轴，过C作CM⊥x轴，垂足分别为N、M，延长BA交DN于G，延长DC交BM于H，如图1，
则BM=5，CM=3，OA=5，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，又DN∥BM，
∴四边形BHDG为平行四边形，
∴∠ABM=∠CDN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠CBM=∠ADN，且AD=BC，
在△BCM和△DAN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠ADN}\\{∠BMC=∠DNA}\\{BC=AD}\end{array}\right.$
∴△BCM≌△DAN（AAS），
∴DN=BM=5，AN=CM=3，
∴ON=OA+AN=5+3=8，
∴D点坐标为（5，8）；
（2）证明：
由（1）可知BG∥DH，
∴∠DCF=∠GAC，
又∠GAC=∠ABF+∠AFB，
∴∠DCF=∠ABF+∠AFB；
（3）解：
过C作CH⊥x轴于点H，如图2，

设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得0=$\left\{\begin{array}{l}{5=b}\\{3=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+5，
令y=0，可得x=7.5，
∴F（7.5，0），且C（3，3），
∴OH=3，HF=OF-OH=7.5-3=4.5，
∵CH∥AO，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{HF}{OH}$=$\frac{4.5}{3}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、待定系数法和平行线分线段成比例等知识点．在（1）中求得D到两坐标边的距离是解题的关键，在（2）中注意观察∠DCF与∠ABF和∠AFB的关系，利用三角形外角的性质是解题的关键，在（3）中求得F点的坐标是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，但属于基础性题目，难度适中．