Question

（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．
小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，首先证明BE²=PE²+PB²，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．
（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ²+CQ²=PC²，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°
PC=EC=2；BE=PA=3；
由勾股定理得：PE²=2²+2²=8；
∵PB²=1，BE²=9，
∴BE²=PE²+PB²，
∴∠BPE=90°，
∵∠CPE=45°，
∴∠BPC=135°．
（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；
则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；
∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；
∵PQ²+CQ²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PQ²+CQ²=PC²，
∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AQC=150°．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．