Question

【题目】如图，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧弧MN分别交OA、OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得，求证：AP＝BP；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；

（3）设点Q在优弧弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．

【解析】

试题（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；

（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．

试题解析：（1）∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP＝80°+∠BOP，

∠BOP′＝∠POP′+∠BOP＝80°+∠BOP，

∴∠AOP＝∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中，，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP＝BP′；

（2）连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，

∵AT与⊙O相切，∴∠ATO＝90°，

∴AT==8，

∵×OA×TH＝×AT×OT，

∴×10×TH＝×8×6，解得：TH＝，

∴点T到OA的距离为；

（3）如图，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，理由如下：

当Q点在优弧左侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ+∠AOB＝90°+80°＝170°，

当Q点在优弧MN右侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ－∠AOB＝90°－80°＝10°，

综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大.