Question

如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，

BC

=2

AC

，点P是OA上的任意一点，求PB+PC的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：应用题

分析：先作点C关于直线OA的对称点C′，连接BC′，则BC′的长即为PB+PC的最小值，再过点O作OD⊥BC于点D，连接OC′，先根据

BC

=2

AC

，∠AOB=90°求出

AC

的度数，进而得出∠AOC′的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答：解：先作点C关于直线OA的对称点C′，连接BC′，则BC′的长即为PB+PC的最小值，再过点O作OD⊥BC于点D，连接OC′，
∵

BC

=2

AC

，∠AOB=90°，
∴

AC

=30°，
∴∠AOC′=30°，
∴∠BOC′=120°，
∵OD⊥BC′，OB=OC′，
∴∠BOD=60°，BD=

1

2

BC′，
∴BD=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴BC′=4

3

，即PB+PC的最小值是4

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．