Question

6．在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC方向运动，速度为2cm/s；同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s；连接PQ，若设运动时间为t（s） （0＜t≤3）．
（1）若设△APQ的面积为y（cm²），求y与t函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t使△APQ的面积与四边形BCPQ的面积比是7：8？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）连接DP得到△DPQ，那么是否存在某一时刻t，使点D在PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过Q做QM⊥AC于M，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，根据三角形相似即可得到答案；
（2））由△APQ的面积与四边形BCPQ的面积比是7：8，得到S_△APQ：S_△ABC=7：15，列方程$\frac{4}{5}$t²+4t=$\frac{7}{15}$×$\frac{1}{2}×6×8$，求得t=2；
（3）当点D在PQ的垂直平分线上时，PD=QD，过点D作DN⊥AC于N，列方程得到方程无解，所以不存在某一时刻t，使点D在PQ的垂直平分线上．

解答 解：（1）过Q做QM⊥AC于M，如图1，
∵Rt△ABC中，
AC=6cm，BC=8cm，
由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由点A出发，沿AC方向运动，速度为2cm/s；同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，
∴AC=2t，AQ=5+t，
∵QM⊥AC，BC⊥AC，
∴QM∥BC，
∴△AQM∽△ABC，
∴$\frac{QM}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{QM}{8}=\frac{5+t}{10}$，
解得：QM=4+$\frac{4}{5}t$，
∴y=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$×2t（4+$\frac{4}{5}$t），
即y=$\frac{4}{5}$t²+4t；

（2）存在，
∵△APQ的面积与四边形BCPQ的面积比是7：8，
∴S_△APQ：S_△ABC=7：15，
∴$\frac{4}{5}$t²+4t=$\frac{7}{15}$×$\frac{1}{2}×6×8$，
解得：t=2，（负值舍去），
∴当t=2时，△APQ的面积与四边形BCPQ的面积比是7：8；

（3）如图2，当点D在PQ的垂直平分线上时，PD=QD，
过点D作DN⊥AC于N，
则DN=$\frac{1}{2}$BC=4，PN=2t-3，
∴PD=$\sqrt{{4}^{2}{+（2t-3）}^{2}}$，
∴t=$\sqrt{{4}^{2}{+（2t-3）}^{2}}$，
化整式方程为：3t²-12t+25=0，
∵△=12²-4×3×5＜0，
∴方程无解，
∴不存在某一时刻t，使点D在PQ的垂直平分线上．

点评 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次解的情况，正确的画出图形是解题的关键．