Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C（0，4）；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-5）²+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接MC、MA，由切线的性质得出MC⊥y轴，MC=MA=5，OC=MD=4，得出点C的坐标；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出点A、B的坐标；
（2）把点A（2，0）代入抛物线得出k=-$\frac{9}{4}$，得出顶点E的坐标，得出DE、ME，由勾股定理得出EA²=$\frac{225}{16}$，证出MA²+EA²=ME²，由勾股定理的逆定理证出∠MAE=90°，即可得出EA与⊙M相切；
（3）由勾股定理求出BC，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，容易得出点P的坐标；
②当BP=BC=4$\sqrt{5}$时，由勾股定理求出PD，即可得出点P的坐标；
③当PC=BC=4$\sqrt{5}$时，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出点P的坐标．

解答 （1）解：连接MC、MA，如图1所示：
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴MC⊥y轴，
∵M（5，4），
∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），
∵MD⊥AB，
∴DA=DB，∠MDA=90°，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴BD=3，
∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0），
故答案为2，0；8，0；0，4；
（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-5）²+k，
得：k=-$\frac{9}{4}$，
∴E（5，-$\frac{9}{4}$），
∴DE=$\frac{9}{4}$，
∴ME=MD+DE=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，EA²=3²+（$\frac{9}{4}$）²=$\frac{225}{16}$，
∵MA²+EA²=5²+$\frac{225}{16}$=$\frac{625}{16}$，ME²=$\frac{625}{16}$，
∴MA²+EA²=ME²，
∴∠MAE=90°，
即EA⊥MA，
∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，$\sqrt{71}$），或（5，4+$\sqrt{55}$）；理由如下：
由勾股定理得：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
分三种情况：
①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，
∴P（5，4）；
②当BP=BC=4$\sqrt{5}$时，如图2所示：
∵PD=$\sqrt{B{P}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{80-{3}^{2}}$=$\sqrt{71}$，
∴P（5，$\sqrt{71}$）；
③当PC=BC=4$\sqrt{5}$时，连接MC，如图3所示：
则∠PMC=90°，
根据勾股定理得：PM=$\sqrt{P{C}^{2}-M{C}^{2}}$=$\sqrt{80-{5}^{2}}$=$\sqrt{55}$，
∴PD=4+$\sqrt{55}$，
∴P（5，4+$\sqrt{55}$）；
综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5，$\sqrt{71}$），或（5，4+$\sqrt{55}$）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理才能得出结果．