Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点P是斜边AB上一点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥AB于P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：

x	……	0.8	1.0	1.4	2.0	3.0	4.0	4.5	4.8	5.0	5.5	……
y	……	0.2	0.3	0.6	1.2	2.6	4.6	5.8	5.0	m	2.4	……

经测量、计算，m的值是 （保留一位小数）．

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当QP=CQ时，x的值是 ．

Answer 1

【答案】（1）4.3；（2）见解析；（3）3.0或5.2．

【解析】

（1）由表中数据变化可知，当x=AP=5.0时，点Q在BC上，如下图1，此时BP=6-5=1，由已知条件易得PQ=，再由y=S△APQ=AP·PQ即可求得对应的y的值；

（2）根据表格中的数据描点，再用平滑的曲线将各点连接起来即可；

（3）根据题意分：①点Q在AC上；②点Q在BC上两种情况分别计算出对应的AP的值即可.

（1）∵PQ⊥AB于P，

∴∠APQ=90°，

∵∠A=30°，∠C=90°，

∴∠B=60°，

∵AB=6，AP=5.0，

∴BP=1.0

∴ PQ=，

∴y=S△APQ

=AP·PQ

=

≈4.3

故答案为：4.3；

（2）根据表中数据描点，连线得到的函数图象如下图所示：

（3）∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，

∴AC=AB·cosA=，BC=AB·sinA=.

①如图2，当点Q在AC上时，

∵QP⊥AB，

∴∠QPA=90°，

∵∠A=30°，

∴PQ=AP·tanA=，AQ=，

又∵CQ=PQ，AC=AQ+CQ=，

∴，解得：；

②如图3，当点Q在BC上时，

∵QP⊥AB，

∴∠QPA=90°，

∵∠B=60°，PB=AB-AP=6-x，

∴PQ=PB·tanB=，BQ=，

又∵CQ=PQ，BQ+CQ=BC=3，

∴，解得：.

综上所述，当QP=CQ时或.