Question

“5•12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y₁（万元）和杂项支出y₂（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）
（1）求y₁与x的函数解析式；
（2）求五月份该公司的总销售量；
（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润=销售额-进价-其他各项支出）
（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．

型号	甲	乙	丙
进价（万元•台）	0.9	1.2	1.1
售价（万元•台）	1.2	1.6	1.3

Answer 1

分析：（1）如图可知，y₁与x之间的一次函数关系式．
（2）依题意可解得y₁，y₂与x的等式关系．
（3）设五月份售出乙种型号器材p台，则售出丙种型号器材（60-t-p）台．
（4）根据（3）可知w随t的增大而增大，根据此可解．

解答：解：（1）设y₁与x的函数解析式是y₁=kx+b
根据题意得到

b=0.2 20k+b=1.2

解得：

k=0.05 b=0.2

∴y₁与x的关系式为y₁=0.05x+0.2

（2）依题意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，解得：x=60
∴五月份该公司的总销售量为60台．

（3）设五月份售出乙种型号器材p台，则售出丙种型号器材（60-t-p）台．
则0.9t+1.2p+1.1（60-t-p）=64
解得p=2t-20
∴w=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8
即w与t的函数关系式为：w=0.5t+4.2（14≤t≤24）；

（4）依题意有

t≥8 2t-20≥8 60-t-2t+20≥8

解得14≤t≤24
又∵t为正整数
∴t最大为24
∵w是关于t的一次函数，由（3）可知，w随t的增大而增大．
∴当t=24（台）时，w最大=0.5×24+4.2=16.2（万元）
∴该公司这次向灾区捐款金额的最大值为16.2万元．

点评：本题难度中上．是函数与不等式的综合题，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．