Question

1．正方形ABCD、CFEG如图（a）摆放，连接AE、M为AE中点；
（1）连接MF、MD，则MF与MD关系如何？请直接写出答案．
（2）若将正方形CFEG转动到某一位置，使CE与BC共线，如图（b）则上述结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由．
（3）若将正方形CFEG转动到某一位置，如图（c），则上述结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长DM交FE于N，根据AM=ME，AD∥EF证明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，则△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
（2）MD=MF，MD⊥MF．延长DM交CE于N，连接FD、FN，同（1）方法证明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”证明△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可证∠DFN=90°，△DFN为等腰直角三角形，FM为斜边DN上的中线，可证MD=MF，MD⊥MF；
（3）MD=MF，MD⊥MF．过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN，利用（1）的方法证明△AMD≌△EMN，以下证明方法同（2）．

解答 证明：（1）如图1，延长DM交FE于N，
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2，在△ADM和△ENM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AM=EM}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△EMN（ASA），
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；
（2）MD=MF，MD⊥MF．
如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2，在△ADM和△ENM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AM=EM}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵四边形CGEF是正方形，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°． 
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，在△FDC好△FNE中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=NE}&{\;}\\{∠DCF=∠NEF}&{\;}\\{FC=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△FNE（SAS），
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，
∴MD=MF，MD⊥MF；
（3）MD=MF，MD⊥MF．
如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，AD∥EH，
∴∠3=∠4，在△ADM和△ENM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AM=EM}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△EMN（ASA），
∴DM=NM，AD=EN． 
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°． 
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF，
在△FDC好△FNE中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=NE}&{\;}\\{∠DCF=∠NEF}&{\;}\\{FC=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF（SAS），
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°．
∴MD=MF，MD⊥MF．

点评 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，关键是根据（1）得出证明问题的一般方法，在图形变化过程中，寻找不变的关系．