Question

已知抛物线y=x²+mx-

3

4

m²（m＞0）．
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB=4，求m的值；
（3）在条件（2）的前提下，y轴上是否存在点C，使得△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用根的判别式证明即可；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，然后表示出AB，即可得到m的值；
（3）判断出△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再分点C在y轴负半轴和正半轴两种情况写出即可．

解答：（1）证明：令y=0，则x²+mx-

3

4

m²=0，
△=b²-4ac=m²-4×1×（-

3

4

m²）=2m²，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴该抛物线与x轴必有两个交点；

（2）解：令y=0，则x²+mx-

3

4

m²=0，
解得x₁=-

3

2

m，x₂=

m

2

，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-

3

2

m，0），B（

m

2

，0），
∴AB=

m

2

-（-

3

2

m）=2m=4，
解得m=2；

（3）存在．
理由如下：由（2）得，m=2，点A（-3，0），B（1，0），
∵△ABC为直角三角形，点C在y轴上，
∴∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

3

OC

=

OC

1

，
解得OC=

3

，
点C在y轴负半轴时，点C的坐标为（0，-

3

），
点C在y轴正半轴时，点C的坐标为（0，

3

），
综上所述，y轴上有点C的坐标（0，-

3

），（0，

3

），使得△ABC为直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，抛物线与x轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，（3）点C的坐标要分情况讨论．