Question

【题目】长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a>b,如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2．

（1）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数；

（2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积；

（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米；（3）a，b的值分别为7和4.5

【解析】

（1）分别求出S1，S2，S1﹣S2的值，从而求解；（2）由S1＝2S2，求得ab﹣7a﹣7b＝1，然后求出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，最后整体代入求值即可；（3）由题意，根据拼接图形的边长之间的等量关系，列方程组求解，根据问题的实际意义作出取舍即可．

解：（1）证明：由题意得：

S1＝（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9

S2＝（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4

∴S1﹣S2＝ab+3（a+b）+9﹣ab+2（a+b）﹣4

＝5（a+b）+5＝5（a+b+1） ∴S1与S2的差一定是5的倍数．

（2）∵S1＝2S2，

∴ab+3a+3b+9＝2（ab﹣2a﹣2b+4）

∴ab﹣7a﹣7b-1＝0

∴ab﹣7a﹣7b＝1

∵将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：

（a﹣7）（b﹣7）＝ab﹣7a﹣7b+49＝1+49＝50

∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米．

（3）由题意可得方程组：

①

解得

②

解得：故该组方程组的解不符合题意

∴a，b的值分别为7和4.5