Question

已知a是正整数，如果关于x的方程x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

Answer 1

分析：先将原方程的左边分解因式，然后根据“两个数的乘积是0，其中最少有一个因式是0的”原则来分析；最后由二次方程的根的判别式及整数的奇偶性来解答．

解答：解：将方程的左边分解因式，得（x-1）【x²+（a+18）x+56】=0，观察易知，方程有一个整数根x₁=1，
∵a是正整数，
∴关于x的方程x²+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）²-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）²-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）²-224=k²（其中k为非负整数），则（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以

a+18+k=112 a+18-k=2

或

a+18+k=56 a+18-k=4

或

a+18+k=28 a+18-k=8

解得

a=39 k=55

或

a=12 k=26

或

a=0 k=10

而a是正整数，所以只可能

a=39 k=55

或

a=12 k=26.

当a=39时，方程（1）即x²+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56．此时原方程的三个根为1，-1和-56．
当a=12时，方程（1）即x²+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28．此时原方程的三个根为1，-2和-28

点评：本题综合考查了一元二次方程的整数根与有理根、因式分解的应用、一元二次方程的解与根的判别式等知识点，是难度比较大的一道题，在解题时，要分类讨论，勿漏解．