Question

已知a，b是互质的正整数，且a+b，3a，a+4b恰为一直角三角形的三条边长，则a+b的值等于________

Answer 1

8或24
分析：a、b均为正数，则a+4b＞a+b，所以只有a+4b和3a有可能成为斜边，分类讨论（1）a+4b为斜边；（2）3a为斜边．
解答：在直角三角形中，（1）若a+4b为斜边，则（a+4b）²=（a+b）²+9a²
∴9a²-6ab-15b²=0，（a+b）（3a-5b）=0
∵a+b≠0，且a，b互质，
∴a=5，b=3．
三条边长分别为8，15，17，a+b=8．
（2）若3a为斜边，则9a²=（a+b）²+（a+4b）²，
∴7a²-10ab-17b²=0，
∴（a+b）（7a-17b）=0
．∵a+b≠0，
∴7a=17b，a，b互质，
∴a=17，b=7．三条边长分别为24，45，51，a+b=24．综上得a+b=8．或a+b=24．
点评：本题考查了分类讨论思想，考查了直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论a+4b是斜边或3a是斜边是解题的关键．