Question

在图中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先证明△BGH≌△CGK，然后根据S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC即可求解；
（2）根据S_△GHK=S_{四边形CHGK}-S_△CHK即可列出函数解析式；
（3）转化为方程问题，利用根的判别式即可确定．
解答：解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．
证明：连接CG
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为斜边AB中点，
∴CG=BG，CG⊥AB．
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK．
∴△BGH≌△CGK．（3分）
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC==4．
即：S_{四边形CHGK}的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化．（4分）

（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四边形CHGK}-S_△CHK，
得，
∴．
∵0°＜α＜90°，
∴0＜x＜4．（6分）

（3）不存在．
根据题意，得．
化简，得 x²-4x+7=0．
∵△=16-4×1×7＜0，
∴此方程无实数根．
即不存在这样的位置，使△GKH的面积等于△ABC面积的．（8分）
点评：本题主要考查了旋转的性质，函数的解析式的求解，以及一元二次方程的根的判别式，难度较大．