Question

【题目】已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．

（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；

（2）若E是弧AB的中点，求证：；

（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（2）当是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．

【解析】

（1）先求出OCOB=1，设OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出结论；

（2）先判断出，进而得出∠CBE=∠BCE，再判断出△OBE∽△EBC，即可得出结论；

（3）分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；

②当CD=DE时，判断出∠DAE=∠DEA，再判断出∠OAE=OEA，进而得出∠DEA=∠OEA，即：点D和点O重合，即可得出结论．

（1）∵C是半径OB中点，∴OCOB=1．

∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD．设OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．

在Rt△OCD中，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；

（2）如图1，连接AE，CE．

∵DE是AC垂直平分线，∴AE=CE．

∵E是弧AB的中点，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．

连接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．

∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BOBC；

（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：

①当CD=CE时．

∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，设菱形的边长为a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；

②当CD=DE时．

∵DE是AC垂直平分线，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．

连接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，∴CD=2．

综上所述：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．