Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．

（1）求x为何值时，PQ⊥AC；

（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

Answer 1

【答案】（1）x=；（2）y=﹣x2+x；（3）证明见解析；（4）当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；

（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；

（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；

（4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．

（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，

当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4﹣x=2×2x，

∴x=；

（2）y=﹣x2+x，

如图所示，

当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；

∵∠C=60°，QC=2x，

∴QN=QC×sin60°=x；

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC=2，

∴DP=2﹣x，

∴y=PDQN=（2﹣x）x=﹣x2+x；

（3）当0＜x＜2时，

在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，

由（1）可知，当x=时，以PQ为直径的圆与AC相切；

当点Q在AB上时，

8﹣2x=，

解得x=，

故当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，

当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．