Question

4．已知二次函数y=x²-（2m+4）x+m²-4（x为自变量）的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，且A、B两点到原点O的距离AO、BO满足3（OB-OA）=2AO•BO，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析 令二次函数中y=0得到关于x的方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据3（OB-AO）=2AO•OB列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出二次函数解析式．

解答 解：令x²-（2m+4）x+m²-4=0，设两根为x₁，x₂（x₁＜0＜x₂），
由题意得：x₁=-OA，x₂=OB，m²-4＜0，即-2＜m＜2，
∴OB-OA=2m+4，OA•OB=-（m²-4），
代入3（OB-OA）=2AO•OB，得：3（2m+4）=-2（m²-4），
整理得：（m+1）（m+2）=0，
可得m+1=0或m+2=0，
解得：m=-1或m=-2（舍去），
则抛物线解析式为y=x²-2x-3．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，涉及的知识有：根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，有一定的难度．弄清题意是解本题的关键．