Question

3．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图形阴影部分的面积为1．

Answer 1

分析 连接OD，AD，由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据直径对的圆周角是直角知，∠ADB=90°，即AD是等腰直角三角形斜边BC上的高，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，点D是BC的中点，由于点O是AB的中点，则OD是△ABC的AC边对的中位线，有OD∥AC，则点D也是半圆ADB的中点，则弓形BD与弓形AD的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ACD的面积．

解答 解：连接OD，AD．

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，有∠B=∠C=45°，
∵∠ADB=90°，
∴AD是等腰直角三角形斜边BC上的高，则点D是BC的中点，
∴OD是△ABC的AC边对的中位线，OD∥AC，
∴点D也是半圆ADB的中点，则弓形BD与弓形AD的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ACD的面积．
∵△ACD是等腰直角三角形，则AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴S_阴影=S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
故答案为：1．

点评 本题利用了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，直径对的圆周角是直角，等腰直角三角形的面积公式求解．