Question

某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2…15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？

n	0	1	2	3	…	12	13	14	15
做对 n道题的人数	7	8	10	21	…	15	6	3	1

Answer 1

解：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a．
∵做对4个题和4个以上的人数为（x-7-8-10-21）=（x-46）人，
∴所有学生做的总题数为：（x-46）×6+0×7+1×8+2×10+3×21=6x-185；
又∵做对10个题和10个以下的人数为（x-a-15-6-3-1）=（x-a-25）人，
∴所有学生做的总题数为：（x-a-25）×4+15×1+14×3+13×6+12×15+11a=4x+215+7a，
∴6x-185=4x+215+7a，
2x=400+7a，
x=200+a，
∵a为自然数，
∴当a=0时x取最小值200．
所以至少统计了200人．
分析：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a，根据做对4个题和4个以上的人数乘以其平均分加上做对4个以下题的人答对的总题数等于所有被统计的人答对的总题数；做对10个题和10个以下的人数乘以其平均分加上做对10个以上题的人答对的总题数等于所有被统计的人答对的总题数．做对10个题和10个以下的人数乘以其平均分加上做对11，12，13，14道题的人答对的总题数等于所有被统计的人答对的总题数列方程求解即可．
点评：本题考查了加权平均数及方程的应用，有一定的难度．解题关键是根据答对的总题数不变列方程．