Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=

25

4

．
（1）求点P到直线AB的距离；
（2）求直线y=kx+b的解析式；
（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作PC垂直AB于点C．求出AC的值后可求出PC的长．
（2）证明△APC∽△ABO，利用线段比求出OB．再利用勾股定理求得OA．继而求出直线AB的解析式．
（3）假设存在点Q，求出PQ的长．得出点Q在⊙P外．

解答：解：（1）作PC⊥AB于点C．
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∴PC=

PA2-AC2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

．

（2）∵△APC∽△ABO，
∴

PC

OB

=

AP

AB

即

15 4

OB

=

25 4

10

．
∴OB=6，∴OA=

AB2-OB2

=

102-62

=8．
∴A（-8，0），B（0，6）．
∴

-8k+b=0 b=6

．∴

k= 3 4 b=6

．
∴直线AB的解析式为y=

3

4

x+6．

（3）当菱形ABPQ时，AB=BP．
∵AB=10，BP=AP=

25

4

，
∴AB≠BP．
当菱形APBQ时，若延长PC交⊙P于点Q，则PC=CQ．
∵PC=

15

4

，CQ=PQ-PC=

25

4

-

15

4

=

5

2

，
∴PC≠CQ．
综上所述，⊙P上不存在点Q，使A、P、B、Q为顶点的四边形．

点评：本题考查的是一次函数的性质，勾股定理的应用等相关知识，难度中上．