如图:已知P为⊙O直径AB上任意一点.弦CD过P且与AB交成45°角．求证:PC2+PD2为定值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

22、如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC²+PD²为定值．

分析：分类讨论（1）P点与O点重合，（2）P为一般情况，求证Rt△ODN≌Rt△COM，得ON=CM=PM，OM=ND=PN，从而求证OC²+OD²═PC²+PD²为定值．

解答：

证明：当点p与O点重合时，
PC²+PD²=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC²=CM²+OM²，OD²=DN²+ON²
∴OC²=CM²+PN²，OD²=DN²+PM²
∴OC²+OD²=CM²+PN²+DN²+PM²=PC²+PD²，
因此PC²+PD²=2圆O的半径的平方（为定值）．

点评：本题考查了在圆中构建三角形运用勾股定理解直角三角形，本题中求证PC²+PD²=2OC²是解题的关键．

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；
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，其中A为锐角，试求sadA的值；
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1-k2

．

2-2

1-k2