Question

在等边△ABC中，D、E分别在AC、BC上，且AD=CE=nAC，连AE、BD相交于P，过B作BQ⊥AE于点Q，连CP．
（1）∠BPQ=________，=________
（2）若BP⊥CP，求；
（3）当n=________时，BP⊥CP？

Answer 1

解：（1）在△ACE和△BAD中，
CE=AD，
∠ACE=∠BAD=60°（等边三角形的三个内角都是60°），
AC=BA，
∴△ACE≌△BAD；
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BAP+∠EAC=∠BAP+∠ABD=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABD=60°；
在三角形BPQ中，BQ⊥AE，
∴=cos∠BPQ=；

（2）解：在BP上取BK=AP．连AK
∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE=∠ABD；
∵BK=AP，AB=CA，
∴△ACP≌△BAK，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=30°．
又∠APB=120°．
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴=；

（3）过C点作CF⊥AE，交AE延长线于点F．
∵∠BPQ=60°，BP⊥CP，
∴∠CPF=30°，
∵CP=2CF，
∵∠PBQ=∠CPF=30°，∠BQP=∠PFC=90°，
∴△BPQ∽△PCF，
∴BQ：PC=PQ：CF，
∴BQ：PQ=2，
假设AD=1，则CD=1-n，
CD：AD=BQ：CE，
∴（1-n）：n=BQ：CE=2，
∴n=．
分析：（1）根据△ACE≌△BAD及三角形的每一个内角是60°解答；
（2）通过作辅助线连AK（在BP上取BK=AP．连AK）来证明△ACP≌△BAK，然后求出∠AKP=∠KAP=30°，从而求得AP=PK；
（3）通过作辅助线CF⊥AE（过C点作CF⊥AE，交AE延长线于点F），然后利用平行线的判定（内错角相等，两直线平行）和平行线的性质（平行线间的线段成比例）解答．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．