Question

如图，B，C在⊙O上，△OBC是等边三角形，BA⊥OC于点D，交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC的延长线，直径BG的延长线分别为点E、F，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）若=，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC，AO，由于BD是等边三角形△OCB的OC边上的高，由等腰三角形的性质，底边上的高与顶角的平分线重合知，∠CBA=∠ABF=30°，由圆周角定理知，点A是弧CAG的中点，则有∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°，则△OCA也为等边三角形，有∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°，由于AE为切线，由切线的性质知，∠OAE=90°，有∠CAE=30°得到△BEF是直角三角形，
（2）由弧长公式知，弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3，得到圆的半径OA=AC=2，则AE=．
解答：（1）证明：连接AC，AO
∵BD是等边三角形△OCB的OC边上的高
∴∠CBA=∠ABF=30°
∵∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°
∵AE为切线，∴∠OAE=90°
∴∠CAE=30°
∴∠E=180°-∠CAE-∠ECA=90°
即△BEF是直角三角形．

（2）解：∵弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3
∴OA=AC=2
∴AE=ACsin60°=．
点评：本题利用了切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，弧长公式，正弦的概念求解．