Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t≤2.5）．
（1）用t的代数式表示线段AM、BN、AP的长．
（2）当t为何值时，△APM是等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使△PMN的面积S有最大值？若存在，求S的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线段的和差即可得到结果；
（2）分三种情况：①当AP=AM时，得到t=1，②当AP=PM时，即点P在AM的垂直平分线上，如图1，过P作AM的垂直平分线交AM于E，则AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{4-t}{2}$，PE∥BC，根据△APE∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$即可得到结果；③当AM=PM时，即点M在AP的垂直平分线上，如图1，过M作AP的垂直平分线交AP于F，由△AFM∽△ACB，得到比例式$\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即可得到结果t=-$\frac{7}{2}$，（不合题意，舍去）；
（3）如图3，过点P作PH⊥BC于点H，过点P作PG⊥AC于点G，则PH∥AC，PG∥BC，于是得到$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}$，求得PH=$\frac{8}{5}$t，同理PG=$\frac{15-6t}{5}$，根据三角形的面积公式即可得到S=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，于是得到当t=$\frac{5}{2}$时，S_最大=$\frac{45}{24}$．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴AM=AC-CM=4-t，BN=BC-CN=3-t，AP=AB-PB=5-2t；

（2）∵△APM是等腰三角形，
①当AP=AM时，即5-2t=4-t，
解得：t=1，
②当AP=PM时，
如图1，过P作AM的垂直平分线交AM于E，即点P在AM的垂直平分线上，
则AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{4-t}{2}$，PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{5-2t}{5}$=$\frac{\frac{1}{2}（4-t）}{4}$，
解得：t=$\frac{20}{11}$，
③当AM=PM时，
如图2，过M作AP的垂直平分线交AP于F，即点M在AP的垂直平分线上，
则AF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-2t），∠AFM=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AFM∽△ACB，∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
即：$\frac{\frac{1}{2}（5-2t）}{4}=\frac{4-t}{5}$，
解得：t=-$\frac{7}{2}$，（不合题意，舍去），
综上所述：当t=1，或t=$\frac{20}{11}$时，△APM是等腰三角形；

（3）如图3，过点P作PH⊥BC于点H，过点P作PG⊥AC于点G，则PH∥AC，PG∥BC，
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}$t，
同理：PG=$\frac{15-6t}{5}$，
∴S_△PMN=S_△ABC-S_△PBN-S_△APM-S_△CMN=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\frac{8}{5}$t-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{15-6t}{5}$-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
即S═-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
∵-$\frac{3}{10}$＜0，
∴S有最大值，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_最大=$\frac{45}{24}$=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．