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    如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P在AD上且AP=1．将一块三角尺顶点放在点P处，三角尺的两直角边分别交AB、BC于点E、F．
    （1）当点F与点C重合时，
    AP
    AE
    的值为
     
    ；
    （2）探究：将三角尺从图中的位置开始，绕点p顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，设CF=m．试解答：
    ①用含m的代数式表示四边形BEPF的面积，并写出m的取值范围；
    ②连结BD，交线段PF于点G，当△PDG是直角三角形时，求m的值．
    考点：四边形综合题
    专题：综合题
    分析：（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=90°，则可根据等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，于是根据三角形相似的判定得到Rt△APE∽Rt△DCP，利用相似比可得到
    AP
    AE
    的值；
    （2）①作FH⊥AD于H，如图1，与（1）的证明方法一样可得Rt△APE∽Rt△HFP，利用相似比得到AE=
    1
    2
    （3-m），然后根据三角形面积公式和四边形BEPF的面积=S矩形ABFH-S△AEP-S△PHF计算得到四边形BEPF的面积=-
    3
    4
    m+
    17
    4
    ，由于当点E和点A重合时，PF⊥BC，FC最大，此时CF=3，则m的取值范围为0≤m≤3；
    ②分类讨论：当∠PGD=90°时，易得PE∥BD，根据三角形相似的判定方法得△AEP∽△ABD，利用相似比得
    1
    2
    (3-m)
    2
    =
    1
    4
    ，解得m=2；当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
    ∴∠A=∠D=90°，
    ∴∠AED+∠APE=90°，
    ∵∠EPC=90°，
    ∴∠APE+∠DPC=90°，
    ∴∠AEP=∠DPC，
    ∴Rt△APE∽Rt△DCP，
    ∴
    AP
    DC
    =
    AE
    PD
    ，
    ∴
    AP
    AE
    =
    DC
    PD
    =
    2
    4-1
    =
    2
    3
    ；
    故答案为
    2
    3
    ；
    （2）①作FH⊥AD于H，如图1，
    与（1）一样可证明Rt△APE∽Rt△HFP，
    ∴
    AP
    HF
    =
    AE
    PH
    ，即
    1
    2
    =
    AE
    4-1-m
    ，
    ∴AE=
    1
    2
    （3-m），
    ∴四边形BEPF的面积=S矩形ABFH-S△AEP-S△PHF
    =2（4-m）-
    1
    2
    ×1×
    1
    2
    （3-m）-
    1
    2
    ×2×（3-m）
    =-
    3
    4
    m+
    17
    4
    ，
    ∵当点E和点A重合时，PF⊥BC，
    ∴此时CF=3，
    ∴m的取值范围为0≤m≤3；
    ②当∠PGD=90°时，
    ∵∠EPF=∠PGD，
    ∴PE∥BD，
    ∴△AEP∽△ABD，
    ∴
    AE
    AB
    =
    AP
    AD
    ，即
    1
    2
    (3-m)
    2
    =
    1
    4
    ，
    ∴m=2；
    当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3，
    ∴当△PDG是直角三角形时，m的值为2或3．
    点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质；会运用相似比求线段的长；能利用面积的和差求不规则图形的面积．
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    A、2和3之间
    B、3和4之间
    C、4和5之间
    D、5和6之间

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    BD
    和
    AC
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    ；
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