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    （2012•金东区一模）已知：如图，直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），与直线y=x相交于点C．P（0，t）是y轴上的一个动点，过点P作直线l垂直y轴，与直线y=x相交于点D，与直线y=kx+b相交于点E，在直线l下方作一个等腰直角三角形DEF，使DF=DE，∠EDF=90°．
    （1）求直线AB的解析式和C点的坐标；
    （2）当点F落在x轴上时，求t的值；
    （3）当t为何值时，以A，E，P，F为顶点的四边形是梯形？
    分析：（1）把点A、B的坐标代入直线y=kx+b得到关于k、b二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解，联立两直线解析式，求解即可得到点C的坐标；
    （2）利用直线解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，再根据点F在x轴上，DE=DF列式计算即可得解；
    （3）根据梯形的底边平行，分①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论解答，②PF∥AE时，先根据点D、E的坐标求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线PF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值；③AP∥EF时，分点P在y轴正半轴与负半轴两种情况求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线AP、EF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值．
    解答：解：（1）∵直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），
    ∴
    8k+b=0
    b=16
    ，
    解得
    k=-2
    b=16
    ，
    所以，直线AB的解析式为y=-2x+16，
    联立
    y=x
    y=-2x+16
    ，
    解得
    x=
    16
    3
    y=
    16
    3
    ，
    所以，C点坐标为（
    16
    3
    ，
    16
    3
    ）；

    （2）根据题意，点D、E的纵坐标都是t，
    所以，-2x+16=t，
    解得x=
    16-t
    2
    ，
    所以，点D（t，t），E（
    16-t
    2
    ，t），
    DE=|
    16-t
    2
    -t|，
    ∵点F在x轴上，
    ∴|
    16-t
    2
    -t|=t，
    即
    16-t
    2
    -t=t或
    16-t
    2
    -t=-t，
    解得t=
    16
    5
    或t=16，
    所以，t的值为
    16
    5
    ，16；

    （3）①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论，
    t=
    16
    5
    或16，
    当t=16时，P、B、E三点重合，以A，E，P，F为顶点的是三角形，不符合题意舍去，
    所以，t=
    16
    5
    ；

    ②PF∥AE时，点D在点E的左边，
    ∵D（t，t），E（
    16-t
    2
    ，t），
    ∴DE=
    16-t
    2
    -t=
    16-3t
    2
    ，
    点F的纵坐标为：t-
    16-3t
    2
    =
    5t-16
    2
    ，
    ∴点F（t，
    5t-16
    2
    ），
    设直线PF的解析式为y=ex+f，
    则
    f=t
    te+f=
    5t-16
    2
    ，
    解得
    e=
    3t-16
    2t
    f=t
    ，
    所以，直线PF的解析式为y=
    3t-16
    2t
    x+t，
    ∵PF∥AE，
    ∴
    3t-16
    2t
    =-2，
    解得t=
    16
    7
    ；

    ③AP∥EF时，（i）若点P在y轴正半轴，则DE=t-
    16-t
    2
    =
    3t-16
    2
    ，
    点F的纵坐标为t-
    3t-16
    2
    =
    -t+16
    2
    ，
    ∴点F的坐标为（t，
    -t+16
    2
    ），
    设直线EF的解析式为y=cx+d，则
    16-t
    2
    c+d=t
    tc+d=
    -t+16
    2
    ，
    解得
    c=-1
    d=
    t+16
    2
    ，
    ∴直线EF的解析式为y=-x+
    t+16
    2
    ，
    又∵A（8，0），P（0，t），
    ∴直线AP的解析式为y=-
    t
    8
    +t，
    ∵AP∥EF，
    ∴-
    t
    8
    =-1，
    解得t=8，

    （ii）若点P在y轴负半轴，则DE=
    16-t
    2
    -t=
    16-3t
    2
    ，
    点F的纵坐标为t-
    16-3t
    2
    =
    5t-16
    2
    ，
    ∴点F的坐标为（t，
    5t-16
    2
    ），
    设直线EF的解析式为y=mx+n，则
    16-t
    2
    m+n=t
    tm+n=
    5t-16
    2
    ，
    解得
    m=1
    n=
    3t-16
    2
    ，
    ∴直线EF的解析式为y=x+
    3t-16
    2
    ，
    又∵A（8，0），P（0，t），
    ∴直线AP的解析式为y=-
    t
    8
    +t，
    ∵AP∥EF，
    ∴-
    t
    8
    =1，
    解得t=-8，
    综上所述，t的值为
    16
    5
    ，
    16
    7
    ，8，-8．
    点评：本题是一次函数的综合题型，主要涉及到待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标，等腰直角三角形的性质，以及梯形的两底边互相平行，（3）求解思路比较复杂，且运算量较大，要分情况讨论求解．
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    		2
    3
    		2
    m．

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