Question

（2013•顺义区二模）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线； 
（2）已知PA=2

3

，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OB，由OC=OB，PA=PB，利用等边对等角得到两对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，等量代换得到四个角都相等，由∠ABC为直角，得到∠OBC与∠OBA互余，等量代换得到∠OBA与∠PBA互余，即OB垂直于BP，即可确定出BP为圆的切线；
（2）设圆的半径为r，则AC=2r，在直角三角形ABC中，由AC与BC，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到三角形PAB与三角形OCB相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答：（1）证明：连接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
则BP为圆O的切线；

（2）解：设圆的半径为r，则AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根据勾股定理得：AB=

AC2-BC2

=2

r2-1

，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴

PA

OC

=

AB

BC

，即

2 3

r

=

2 r2-1

2

，
解得：r=2．
则圆的半径为2．

点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．