Question

7．探究：如图①，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE．判断AE与EF的位置关系，并加以证明．
拓展：如图②，在?ABCD中，E是边CD的中点，点F在边BC上，∠DAE=∠FAE，若AD=$\frac{5}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$，EF=$\frac{3}{5}$，则sin∠DAE=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 探究：延长AE交BC的延长线与G，由矩形的性质得出∠DAE=∠G，由AAS证明△ADE≌△GCE，得出AE=GE，AD=GC，由已知条件得出∠G=∠FAE，证出AF=GF，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
拓展：延长AE交BC的延长线与G，由平行四边形的性质得出∠DAE=∠G，由AAS证明△ADE≌△GCE（AAS），得出AE=GE，AD=GC，证出∠G=∠FAE，得出AF=GF，由等腰三角形的性质得出AE⊥EF，求出AF=GF=CF+CG=CF+AD=3，由三角函数得出isn∠DAE=sjn∠FAE=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{1}{5}$即可．

解答 探究：解：AE⊥EF；理由如下：
延长AE交BC的延长线与G，如图1所示：
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠AED=∠GEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，AD=GC，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠G=∠FAE，
∴AF=GF，
∵AE=GE，
∴AE⊥EF；
拓展：解：延长AE交BC的延长线与G，如图1所示：
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠AED=∠GEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，AD=GC，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠G=∠FAE，
∴AF=GF，
∵AE=GE，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵AF=GF=CF+CG=CF+AD=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$=3，
∴sin∠DAE=sin∠FAE=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\frac{3}{5}}{3}$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形和平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．