Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=1，分别以点B、C为圆心，1为半径画弧，与BC边分别交于点M、N，且与对角线AC交于同一点P，则图中阴影部分的面积为$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 连接BP、DP，根据题意得出AP=CP=AB=PD=CD=1，AC=2=2AB，得出∠PCD=60°，由矩形的性质求出∠ACB=30°，得出∠BAC=60°，证出△ABP为等边三角形，得出∠ABP=60°，求出扇形ABP的面积和△ABP的面积，得出阴影AP的面积=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，作PQ⊥BC于Q，则阴影PMQ的面积=阴影PNQ的面积=$\frac{1}{2}$阴影AP的面积，即可得出结果．

解答 解：连接BP、DP，如图所示：
根据题意得：AP=CP=AB=PD=CD=1，AC=2=2AB，
∴∠PCD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠ABP=60°，
∴扇形ABP的面积=$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，△ABP的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴阴影AP的面积=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
作PQ⊥BC于Q，
则阴影PMQ的面积=阴影PNQ的面积=$\frac{1}{2}$阴影AP的面积，
∴图中阴影部分的面积=（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．