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在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.
(1)第一小组的同学发现,在如图1-1的矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到,请你写出这种变换的过程______.

(2)第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图2-1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图2-2),这样能得到∠B′GC的大小,你知道∠B′GC的大小是多少吗?请写出求解过程.
(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图3-2.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:
如图4-1,已知AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°,请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′的大小关系.
【答案】分析:(1)根据矩形是中心对称图形,可以将Rt△ABC旋转180°得到Rt△ADC而得出结论;
(2)连接BB',由题意得EF垂直平分BC,就有BB'=B'C,由翻折可得B'C=BC,从而△BB'C为等边三角形.就可以求出∠B'CB=60°;
(3)分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R,连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH,由BA=BC,根据平移变换的性质,就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形,就有DP⊥CE,FQ⊥EG,HR⊥GI,由勾股定理就可以求出HR2=a2,从而得出新三角形三边的值,从而得出结论;
(4)将△BOC'沿BB'方向平移2个单位,所移成的三角形记为△B'PR,将△COA'沿A'A方向平移2个单位,所移成的三角形记为△AQR.由条件可以得出△AQR为等边三角形,由等边三角形的性质就可以求出△AQR的面积为,从而就可以得出结论.
解答:解:(1)将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC;
故答案为:将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC.
(2)如图2-2-1,连接BB',由题意得EF垂直平分BC,
∴BB'=B'C,由翻折可得,
∴B'C=BC,
∴△BB'C为等边三角形.
∴∠B'CB=60°,
∴∠B'CG=30°,
∵∠GB′C=90°,
∴∠B'GC=60°;
(3)如图3-1-1,分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R,连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH,
∵BA=BC,根据平移变换的性质,
∴△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形,
∴DP⊥CE,FQ⊥EG,HR⊥GI,GR=EQ=CP=0.5a,DP=FQ=HR.
∵AC=a,
∴AI=4a.
∵AH=AI,
∴AH=4a,AR=3.5a.
∴AH2=16a2
在Rt△AHR中,AH2=HR2+AR2
16a2=HR2+a2
HR2=a2
∴DP2=FQ2=HR2=a2
在Rt△ADP和Rt△AFQ中,由勾股定理,得
AD2=AP2+DP2=6a2,AF2=AQ2+FQ2=10a2
∴AH2=AD2+AF2
∴新三角形为直角三角形,
∴新三角形三边长为4a、a、a.
其面积为:a=a2
a2<15
∴a2<15
∴a的最大整数值为3.
(4)如图4-1-1,将△BOC'沿BB'方向平移2个单位,所移成的三角形记为△B'PR,
将△COA'沿A'A方向平移2个单位,所移成的三角形记为△AQS.连接PQ,
∵QR+PR=OC+OC',
∴Q、R、P三点共线.
∵OQ=OA+AQ=OA+OA'=AA'=2,OP=OB'+B'P=OB'+OB=BB'=2.且∠QOP=60°,
∴△OPQ为等边三角形.
∴PQ=OQ=OP=2.
∵RP=OC′,QS=OC,
∴RP+QS=OC′+OC=CC′=2=PQ,
∴R、S重合.
∴S△QOP=
∵S△AOB+S△BOC+S△COA=S△AOB+S△B'PR+S△PQA<S△OPQ
∴S△AOB+S△BOC+S△COA
点评:本题考查了旋转变换的运用,翻折变换的运用,平移变换的运用,等边三角形的性质的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用.本题的综合性较强要求学生熟练的运用图形变换解题是关键.
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(1)第一小组的同学发现,在如图1-1的矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到,请你写出这种变换的过程
将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC
将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC


(2)第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图2-1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图2-2),这样能得到∠B′GC的大小,你知道∠B′GC的大小是多少吗?请写出求解过程.
(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图3-2.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15
15
,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:
如图4-1,已知AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°,请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′
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的大小关系.

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(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△ABC,其中BABC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图3-2.已知AH=AI,判断以ADAFAH为三边能否构成三角形?若能构成,请判断这个三角形的形状,若不能构成,请说明理由.

(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图4-1,已知AA'BB'CC'=4,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,请利用图形变换探究SAOB'+SBOC'+SCOA'的大小关系.

 

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(2)第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图2-1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2-2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

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