Question

如图，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S_△DCE=S_△FBE．
（1）求证：△DCE≌△FBE；
（2）若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6厘米，求DC+AD+AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据AB∥DC得出△DCE∽△FBE，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得出两三角形的相似比为1，从而得出：△DCE≌△FBE．
（2）根据BE是△ADF的中位线得出BE∥AD，AD=2BE，AB=FB，进而得出四边形ABCD是平行四边形，求出DC+AD+AB的长．

解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB．
∴△DCE∽△FBE．
∴

S△DCE

S△FBE

=(

DC

FB

)2．
∵S_△DCE=S_△FBE，
∴(

DC

FB

)2=1．
∴DC=FB．
∴△DCE≌△FBE．

（2）∵BE是△ADF的中位线，
∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD．
∵BE+FB=6，
∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2（BE+FB）=12（厘米）．

点评：本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定及其性质、三角形的中位线的性质等知识．