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    8．已知如图，在四边形ABCD中，AD=CD，M、N分别是BC、AB上的点．
    （1）如图①，若∠A=∠C=90°，∠B=∠MDN=60°．某同学在探究线段AN、MN、CM之间的数量关系时是这样的思路：延长BA到P，使AP=CM，连接PD（图1中虚线），通过研究图中有关三角形全等，再利用全等三角形的性质结合题中条件进行转化，从而得到结论．
    这位同学在这个研究过程中：证明两对三角形分别全等的依据是SAS，SAS，得出线段AN、MN、CM之间的数量关系的结论是MN=AN+CM．
    （2）如图②，若∠A+∠C=180°，其他条件不变，当AN、MN、CM之间满足（1）中的数量关系时，设∠B=α°，请求出∠MDN的度数（用α含的代数式表示）；
    （3）如图③，我区某学校在庆祝“六一”儿童节的定向越野活动中，大本营指挥部设在点O处，甲同学在指挥部东北方向的E处，乙同学在指挥部南偏西75°的F处，且两位同学到指挥部的距离相等．接到行动指令后，甲同学以100米/分钟的速度向正西方向前进，乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进．10分钟后，指挥部监测到甲、乙两同学分别到达G、H处，且么∠GOH=75°，求此时甲、乙两同学之间的距离．

    分析 （1）延长BA到P，使AP=CM，用SAS判断出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判断出∠MDN=∠PDN，从而用SAS得出△DMN≌△DPN，即可；
    （2）延长BA到P，使AP=CM，用SAS判断出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判断出∠MDN=∠PDN，从而用SSS得出△DMN≌△DPN，即可；
    （3）先求出∠A和∠EOF得出∠A+∠EOF=180°，然后用（1）的结论HG=HP=HF+FP，最后代值HF=1200米，FP=1000米，即可．

    解答 解：（1）如图1，

    延长BA到P，使AP=CM，连接PD，
    ∵∠BAD=∠C=90°，
    ∴∠DAP=90°，
    在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△CDM≌△ADP（SAS），
    ∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
    在四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，∠B=60°，
    ∴根据四边形的内角和得，∠ADC=120°，
    ∵∠MDN=60°，
    ∴∠CDM+∠ADN=60°，
    ∵∠CDM=∠ADP，
    ∴∠MDN=∠PDN，
    在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{∠MDN=∠PDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
    ∴△DMN≌△DPN（SAS），
    ∴MN=PN=AN+AP=AN+CM；
    故答案为：SAS，SAS，MN=AN+CM
    （2）如图2，

    延长BA到P，使AP=CM，连接PD，
    ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAP=180°，
    ∴∠C=∠DAP，
    在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△CDM≌△ADP（SAS），
    ∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
    ∵CM=AP，
    ∴MN=AN+CM=AN+AP=PN，
    在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{MN=PN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$
    ∴△DMN≌△DPN（SSS），
    ∴∠MDN=∠PDN=∠ADP+∠ADN，
    ∵∠CDM=∠ADP，
    ∴∠MDN=∠CDM+∠ADN=$\frac{1}{2}$∠ADC，
    在四边形ABCD中，∠BAD+∠C=180°，
    ∴根据四边形的内角和得，∠B+∠ADC=180°，
    ∴∠B+2∠MDN=180°，
    ∵∠B=α，
    ∴∠MDN=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α．
    （3）如图3，

    延长EG，FH相较于点A，过点F作FN⊥AE，
    ∴乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进，
    ∴∠NFA=60°，
    ∴∠A=30°，
    ∵甲同学在指挥部东北方向的E处，乙同学在指挥部南偏西75°的F处，
    ∴∠DOE=45°，∠BOF=75°，
    ∴∠MOF=90°-75°=15°，
    ∴∠EOF=∠DOE+∠DOM+MOF=150°，
    ∴∠A+∠EOF=180°，
    延长AF至点P，使FP=GE，
    满足（1）的条件，则有HG=HP=HF+FP，
    ∵甲同学以100米/分钟的速度向正西方向前进，乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进．10分钟后，指挥部监测到甲、乙两同学分别到达G、H处，
    ∴GE=100×10=1000米，HF=120×10=1200米，
    ∴HG=HF+FP=1200+1000=2200米，
    即：甲、乙两同学之间的距离为2200米．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了邻补角，全等三角形的性质和判定，方位角，结论的应用，构造全等三角形是解本题的关键，利用结论求甲、乙两同学之间的距离是解本题的难点．

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