Question

【题目】如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④APAD＝CFCB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据已知条件得到∠H＝∠ABC，∠C+∠ABC＝90°，于是得到∠H+∠C＝90°，求得DH⊥BC，故①正确；根据，得到∠CBD＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠BFD+∠DBF＝90°，得到∠C＝∠CFP，于是求得CP＝PF，故②正确；根据垂径定理得到，求得，于是得到CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，得到∠ACH＝∠CAD，求得AP＝CP，根据垂径定理得到，求得BC＝BH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：∵C为弧AD的中点，

∴

∴∠H＝∠ABC，

∵CH⊥AB，

∴∠C+∠ABC＝90°，

∴∠H+∠C＝90°，

∴DH⊥BC，故①正确；

∵，

∴∠CBD＝∠ABC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BFD+∠DBF＝90°，

∴∠C＝∠BFD，

∵∠CFP＝∠DFB，

∴∠C＝∠CFP，

∴CP＝PF，故②正确；

∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，

∴，

∴，

∴CH＝AD；故③正确；

连接AC，BH，

则∠ACH＝∠CAD，

∴AP＝CP，

∵CH⊥AB，

∴，

∴BC＝BH，

∴∠BCH＝∠BHC，

∴∠CFP＝∠BHC，

∵∠PCF＝∠BCH，

∴△CPF∽△CBH，

∴，

∴PCCH＝CFCB，

∵PC＝AP，CH＝AD，

∴APAD＝CFCB，故④正确；

∵∠CAF＝∠ABC，

又∵∠ACF＝∠BCA，

∴△CAF∽△CBA，

∴，

又∵AB＝10，

∴AC＝6，BC＝8．

根据直角三角形的面积公式，得：ACBC＝ABCE，

∴6×8＝10CE．

∴CE＝

又∵CH＝HE，

∴CH＝2CE＝．故⑤错误，

故选：C．