Question

9．如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．

Answer 1

分析 （1）由E为BC中点，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到CE=AD，再由AD与CE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由四边形AECD为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，在Rt△ABE中，根据勾股定理表示出AE，由三角形AEC与三角形ADF相似得比例，表示出DF．由CD-DF表示出CF，再由AE与DC平行得比例，即可求出所求式子之比．

解答 解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，
∴BC=2CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）∵四边形AECD为平行四边形，
∴∠D=∠AEC，
∵∠EAF=∠CAD，
∴∠EAC=∠DAF，
∴△AEC∽△ADF，
（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵△AEC∽△ADF，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，即$\frac{\sqrt{5}a}{a}$=$\frac{a}{DF}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴CF=CD-DF=$\sqrt{5}$a-$\frac{\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∵AE∥DC，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{FC}{AE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}a}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．