Question

【题目】Rt△ABD和Rt△ACE如下3个图摆放，其中AB＝AD，AC＝AE．

（1）如图1，求证：BE＝CD．

（2）如图2，M为DE中点，求证：BC＝2AM．

（3）如图3，AB∥CE，AE∥BC，AC＝，AB＝2，直接写出四边形BCED的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.

【解析】

（1）易证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形对应线段相等即可得出结论；

（2）连接AM并延长至N，使MN＝AM，连接DN、EN可证明四边形AEND是平行四边形，根据平行四边形的性质可证明△ABC≌△DAN，根据全等三角形的性质AN＝BC，由此可得AM＝AN＝BC；

（3）由△ABC≌△DAN（SAS）可推出S△ABC＝S△ADN＝S平行四边形AEND＝S△ADE,由此可得出四边形BCED的面积=△BAD的面积+3△CAE的面积.

解：（1）如图1中，

∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，

∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，

在△DAC和△BAE中，

∵，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴CD＝BE，

（2）如图2中，连接AM并延长至N，使MN＝AM，连接DN、EN．

∵AM＝MN，DM＝ME，

∴四边形AEND是平行四边形，

∴DN＝AE＝AC，∠ADN+∠DAE＝180°，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC+∠DAE＝180°，

∴∠ADN＝∠BAC，

在△ABC和△DAN中，

，

∴△ABC≌△DAN（SAS），

∴AN＝BC，

∴AM＝AN＝BC．

（3）如图3中，

如图2中，由（2）可知：△ABC≌△DAN（SAS），

∴S△ABC＝S△ADN＝S平行四边形AEND＝S△ADE，

∵AB∥CE，AE∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴BC＝AE，AB＝EC，∴S△ABC= S△ACE

∵AC＝，AB＝2，

∴S四边形BCED＝S△ABC+ S△ABD +S△AEC+ S△ADE＝3 S△AEC + S△ABD =．