Question

2£®ÒÑÖªÅ×ÎïÏßy=$\frac{1}{4}$x²µÄͼÏóÓëÖ±Ïßy=mx+4µÄͼÏó½»ÓÚA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©Á½µã£®

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¢Úµ±m¡Ù$\frac{3}{2}$ʱ£¨Í¼2£©£¬ÊÔÅжϡ÷AOBµÄÐÎ×´£¬²¢ËµÃ÷ÀíÓÉ£»
£¨3£©Çó¡÷AOBÃæ»ýµÄ×îСֵ£®

Answer 1

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¢ÚÖ¤Ã÷·½·¨ÀàËÆ¢Ù
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·½·¨¶þ£º£¨ÏàËÆÈý½ÇÐΣ©
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¡à¡ÏAOM+BON=90¡ã£¬
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¢Ú·½·¨Ò»£º¡ßA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©ÊÇÅ×ÎïÏß$y=\frac{1}{4}{x^2}$ÓëÖ±Ïßy=mx+4µÄ½»µã£¬
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½«¸Ã·½³Ì¸ÄдΪx²-4mx-16=0£¬ÔòÓÐx₁+x₂=4m£¬x₁x₂=-16£¬
ÓɢٵĽâÌâ¹ý³Ì£¬ÎÒÃÇ¿ÉÒԵõ½£ºAB²=£¨x₁-x₂£©²+£¨y₁-y₂£©²£¬
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¡à£¨x₁-x₂£©²=£¨x₁+x₂£©²-4x₁x₂=16m²+64£¬
¡àAB²=£¨1+m²£©£¨16m²+64£©=16£¨1+m²£©£¨m²+4£©£»
ͬÑùµÄ£¬AO²=x₁²+y₁²=x₁²+£¨mx₁+4£©²=£¨1+m²£©x₁²+8mx₁+16£¬
BO²=£¨1+m²£©x₂²+8mx₂+16£¬
AO²+BO²=[£¨1+m²£©x₁²+8mx₁+16]+[£¨1+m²£©x₂²+8mx₂+16]
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¶øx₁²+x₂²=£¨x₁+x₂£©²-2x₁x₂=16m²+32£¬
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¡à¡ÏAOM+BON=90¡ã£¬
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·½·¨Èý£ºÉèA¡¢BµÄÖеãΪC£¬ÔòC[$\frac{1}{2}$£¨x₁+x₂£©£¬$\frac{1}{2}$£¨y₁+y₂£©]£¬¼´C£¨2m£¬2m²+4£©£¬
$OC=\sqrt{{{£¨2m£©}^2}+{{£¨2{m^2}+4£©}^2}}=2\sqrt{£¨{m^2}+1£©£¨{m^2}+4£©}=\frac{1}{2}AB$£¬
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£¨3£©¡ßS_¡÷AOB=$\frac{1}{2}$¡Á4¡Á£¨|x₁|+|x₂|£©=2$\sqrt{£¨{x}_{1}+{x}_{2}£©^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{16{m}^{2}+64}$£¬
¡àµ±m=0ʱ£¬¡÷AOBÃæ»ýµÄ×îСֵ=16£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²é¶þ´Îº¯Êý×ÛºÏÌâ¡¢Ò»´Îº¯ÊýµÄÓ¦Óᢹ´¹É¶¨ÀíÒÔ¼°¹´¹É¶¨ÀíµÄÄ涨Àí¡¢Ö±½ÇÈý½ÇÐεÄÅж¨ºÍÐÔÖÊ¡¢ÏàËÆÈý½ÇÐεÄÅж¨ºÍÐÔÖʵÈ֪ʶ£¬½âÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÁé»îÔËÓÃËùѧ֪ʶ£¬ÕÆÎÕÖ±½ÇÈý½ÇÐεÄÈýÖÖÅж¨·½·¨£¬Ñ§»áÀûÓòÎÊý½â¾öÎÊÌ⣬ѧ»á¹¹½¨¶þ´Îº¯Êý½â¾ö×îÖµÎÊÌ⣬ÊôÓÚÖп¼Ñ¹ÖáÌ⣮