Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．动点E从点B出发，沿射线BA以每秒3个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．
（1）求当t为何值时，三点C、E、F共线；
（2）设顺次连接四点B、C、F、E所得封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系（要求写出t的取值范围）；并求当S取最大值时tan∠BEF的值；
（3）求当t为何值时，以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）依题意得BE=3t，AF=2t，当C，E，F三点共线时，
∵AF∥BC
∴△AEF∽△BEF
∴=即：=；解得t²-6t+8=0，t₁=2，t₂=4
∴当t=2或4秒时，C、E、F三点共线．

（2）当0≤t＜时，S=（2t+12）×4-（4-3t）×2t=3t²+24；
当≤t≤4时，S=（2t+12）×4+12（3t-4）×2t=3t²+24
故当t=4时，S最大为72，此时BE=3t=12，tan∠BEF==1．

（3）当E点在线段AB上时，BE=EF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（4-3t）²+（2t）²=（3t）²，解得t₁=3-，t₂=3+（舍去）；
当E点在线段AB以外时，
若BE=BF，则BE²=BF²，即（3t）²=4²+（2t）²，解得：t=±（舍去负值）；
若BE=EF，则BE²=EF²，即（3t）²=（3t-4）²+（2t）²，解得t₁=3-（舍去），t₂=3+；
若BF=EF时，AB=AE，即4=3t-4，解得t=，
∴t=3-，，3+，秒时，以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形．
分析：（1）当C，E，F三点共线时，△EAF∽△EBC，用t表示相关线段的长，用相似比求t；
（2）分两种情况，即：点E在线段AB上，点E在线段AB外；根据图形，分别表示面积及t的范围；
（3）以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形，有三种可能，即BE=BF，BE=EF，BF=EF，根据图形特点，结合勾股定理进行计算．
点评：本题考查了相似三角形的实际应用，列分段函数的方法，寻找等腰三角形的条件等知识，充分运用了勾股定理的计算功能．