Question

在△ABC中．
（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）
（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=

180

°，再用你已学过的数学知识加以说明．
（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=

180

°．

Answer 1

分析：（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-60°=30°，然后根据三角形的外角性质有∠BOC=∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．
（2）首先根据题意画出图形，再根据三角形内角和定证明出∠O=∠BAD，进而可得∠BAC+∠BOC=180°；
（3）根据（1）（2）可直接得到结论．

解答：解：（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-60°=30°，
∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°； 

（2）如图所示：
∠BAC+∠BOC=180°；
理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∵∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-∠BAD=90°-∠BAD，
∠O=180°-∠BEO-∠DBA=90°-∠DBA=90°-（90°-∠BAD）=∠BAD，
∵∠BAC=180°-∠DAB，
∴∠BAC=180°-∠O，
∴∠BAC+∠O=180°；

（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°，根据图形掌握角之间的关系．