分析 (1)连接AC、BC,由圆周角定理得出∠ACB=90°,证出△ABC∽△CBE,得出对应边成比例$\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BC}$,BC2=BE•AB,由勾股定理得:BC2=BE2+CE2,得出BE•AB=BE2+CE2,设BE=x,得出方程8x=x2+15,解方程求出BE=3,或BE=5,即可得出BC的长;
(2)延长CF交⊙O于M,连接BM,分两种情况,由垂径定理求出ME,由勾股定理求出BF,证明△CDF∽△BMF,得出对应边成比例,即可求出CD的长.
解答 解:(1)连接AC、BC,如图1所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE⊥AB,
∴△ABC∽△CBE,
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BC}$,
∴BC2=BE•AB,
由勾股定理得:BC2=BE2+CE2,
∴BE•AB=BE2+CE2,
设BE=x,
∵AB=8,CE=$\sqrt{15}$.
∴8x=x2+15,
解得:x=3,或x=5,
∴BE=3,或BE=5,
当BE=3时,BC2=8×3=24,
∴BC=2$\sqrt{6}$;
当BE=3时,BC2=8×5=40,
∴BC=2$\sqrt{10}$;
综上所述,BC的长为2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{10}$;
(2)延长CF交⊙O于M,连接BM,如图2所示:分两种情况,
①∵CE⊥AB,
∴EM=CE=$\sqrt{15}$,BM=BC=2$\sqrt{6}$,BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{5}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$,
∴MF=EM-EF=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$,
∵∠D=∠M,∠DCF=∠MBF,
∴△CDF∽△BMF,
∴$\frac{CD}{BM}=\frac{CF}{MF}$,即$\frac{CD}{2\sqrt{6}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{3}}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}$,
解得:CD=2$\sqrt{15}$;
②同①得:$\frac{CD}{BM}=\frac{CF}{MF}$,即$\frac{CD}{2\sqrt{10}}=\frac{\frac{4\sqrt{15}}{3}}{\frac{4\sqrt{15}}{3}}$,
解得:CD=2$\sqrt{10}$;
综上所述,CD的长为2$\sqrt{15}$或2$\sqrt{10}$.
点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握垂径定理和勾股定理,证明三角形相似是解决问题的关键.
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