Question

某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=进价×销售量）

Answer 1

分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

解答：解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y，
=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
x=-

b

2a

=35，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解这个方程得：x₁=30，x₂=40，
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当30≤x≤40时，w≥2000，
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000，
设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，
∵a=-200＜0，
∴P随x的增大而减小，
∴当x=32时，P_最小=3600，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

点评：此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．