Question

如图，已知A、B、C分别是圆O上的点，OC平分劣弧且交弦AB于点H，AB=，CH=3．
（1）求劣弧的长；（结果保留π）
（2）将线段AB绕圆心O顺时针旋转90°得线段A′B′，线段A′B′与线段AB交于点D，在图中画出线段A′B′，并求线段AD的长．

Answer 1

解：∵OC平分AB，
∴OH⊥AB，．
连接OA、OB，
设OA=r，则OH=r-3，
由勾股定理得，
解得r=6．
∵OH⊥AB，OH=3，OA=6，
∴∠OAB=30度．
∵OA=OB，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB=120度．
∴．

（2）作图如下图

取A'B'中点H'，连接OH'，则OH'⊥A'B'，H'是点H旋转后的对应点，
∴∠HOH'=90°，OH=OH'．
又OH⊥AB，
∴四边形HOH'D正方形．
∴HD=OH=3．
∴．
分析：（1）求弧长，需知道圆心角的度数，半径长．那么根据OC平分劣弧，可得到OH⊥AB，连接圆心和弦的端点构造直角三角形，利用三角函数求得半径和圆心角即可．
（2）旋转中心为O，旋转方向，顺时针，旋转角度90，分别得到A，B的对应点．利用旋转可得HD和OH的值相等，那么AD=AH+HD．
点评：求半径和圆心角通常是构造直角三角形利用特殊的三角函数来求解；做弦心距也是常用的辅助线方法．