Question

在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG="CE" ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是

A．4个         B．3个        C．2个        D．1个

Answer 1

A

试题分析：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG。
∵在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，AC=AG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE。故①正确。
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB。
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°﹣（180°+90°）=90°。
∴BG⊥CE。故②正确。
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，

∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°。
∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°﹣90°=90°。∴∠ABH=∠EAP。
∵在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP，∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS）。∴∠EAM=∠ABC。故④正确。
∵△ABH≌△EAP，∴EP=AH。
同理可得GQ=AH。∴EP=GQ。
∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，EP=GQ，
∴△EPM≌△GQM（AAS）。∴EM=GM。∴AM是△AEG的中线。故③正确。
综上所述，①②③④结论都正确。故选A。