分析 (1)将A(-1,0)、B(4,5)分别代入y=x2+bx+c,求出b和c的值即可;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,过点A作AH⊥OB,垂足为点H,根据三角函数可求出AH的长,进一步得到BH的长,进而得到在Rt△ABH中,tan∠ABO的值;
(3)根据待定系数法可求直线AB的解析式,设点M的坐标为(m,m2-$\frac{9}{2}$m-1),点N坐标为(m,-$\frac{1}{2}$m-1),再分两种情况:m2-4m=3或-m2+4m=3,进行讨论求出符合题意的点N的坐标即可.
解答 解:(1)将A(0,-1)、B(4,-3)分别代入y=x2+bx+c,
得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ 16+4b+c=-3\end{array}\right.$,
解得b=-$\frac{9}{2}$,c=-1.
所以抛物线的解析式为y=x2-$\frac{9}{2}$x-1;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,过点A作AH⊥OB,垂足为点H,
在Rt△AOH中,OA=1,sin∠AOH=sin∠OBC=$\frac{4}{5}$,
∴AH=OA•sin∠AOH=$\frac{4}{5}$,
∴OH=$\frac{3}{5}$,BH=OB-OH=$\frac{22}{5}$,
在Rt△ABH中,tan∠ABO=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{5}$÷$\frac{22}{5}$=$\frac{2}{11}$;
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{kx+b=-3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$.
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1,
设点M的坐标为(m,m2-$\frac{9}{2}$m-1),点N坐标为(m,-$\frac{1}{2}$m-1),
那么MN=|(m2-$\frac{9}{2}$m-1)-(-$\frac{1}{2}$m-1)|=|m2-4m|,
∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,
∴MN=BC=3
解方程m2-4m=3得m=2±$\sqrt{7}$;
解方程-m2+4m=3得m=1或m=3;
所以符合题意的点N有4个,(2-$\sqrt{7}$,$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2),(2+$\sqrt{7}$,-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2),(1,-$\frac{3}{2}$),(3,-$\frac{5}{2}$).
点评 本题考查了二次函数综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,平行四边形的判定和性质,三角函数,解一元二次方程以及抛物线的性质,解答(3)题时要分类讨论.
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A. | ① | B. | ② | C. | ③ | D. | ④ |
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A. | 62° | B. | 52° | C. | 38° | D. | 28° |
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A. | 2 | B. | $\frac{9}{4}$ | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 3 |
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A. | 1.4(1+x)=4.5 | B. | 1.4(1+2x)=4.5 | ||
C. | 1.4(1+x)2=4.5 | D. | 1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5 |
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